Ensembles finis Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ comme une équation.

$y = 2 x^{2} + 12 x - 10$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} + 12 y - 10$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} + 12 y - 10 = x$ .

$2 y^{2} + 12 y - 10 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 12 y - 10 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 12$ et $c = - 10 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 10 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.6

Additionnez $144$ et $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.7

Factorisez $8$ à partir de $224 + 8 x$ .

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Étape 3.5.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.8

Réécrivez $8 (28 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

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Étape 3.5.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.6

Additionnez $144$ et $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.7

Factorisez $8$ à partir de $224 + 8 x$ .

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Étape 3.6.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $8 (28 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

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Étape 3.6.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.6.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{2 (28 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{2 (28 + x)})}{2}$

Étape 3.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{2 (28 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{2 (28 + x)})}{2}$

Étape 3.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (- 10 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot - 10 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 10$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 80 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6

Additionnez $144$ et $80$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{224 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.7

Factorisez $8$ à partir de $224 + 8 x$ .

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Étape 3.7.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $224$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 \cdot 28 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 28 + 8 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $8 (28 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (28 + x))$ .

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Étape 3.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (28 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (28 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 - \sqrt{2 (28 + x)}$ .

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Étape 3.7.5.1

Remettez dans l’ordre $28$ et $x$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 3.7.5.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 3.7.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2 (x + 28)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Étape 3.7.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - (\sqrt{2 (x + 28)})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Étape 3.7.5.5

Réécrivez $- 1 (6 + \sqrt{2 (x + 28)})$ comme $- (6 + \sqrt{2 (x + 28)})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{2 (x + 28)})}{2}$

Étape 3.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ et $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 28, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $- \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (28 + x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (28 + x) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (28 + x) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (28 + x) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (28 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (28 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $28 + x$ par $1$ .

$28 + x \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$28 + x \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 28$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 28, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ est le domaine de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 - \sqrt{2 (28 + x)}}{2}, - \frac{6 + \sqrt{2 (x + 28)}}{2}$

Étape 6